وبگاه ریاضی و فیزیک ماتریال

به اعدادی که جز خودشان و یک ، بر هیچ عدد  دیگری بخش پذیر نیستند اعداد اول میگویند.

برای کشف رازهای اعداد اول ، در طول تاریخ سعی و تلاش های بسیاری شده است. بسیاری از ریاضی دانان ، به دنبال یافتن رابطه ای میان اعداد اول بوده اند و فرمول های بسیاری در این زمینه تولید شده اند.

فرمول اویلر

یکی از این فرمول های جالب مربوط به اویلر ، ریاضیدان معروف سوئیسی می باشد.

فرمول اویلر: “ای فرزند ، راز یافتن یک عدد اول ، اینک یش روی توست. یک عدد طبیعی انتخاب کن. آن را با مربعش و عدد ۴۱ جمع کن.حاصل این مجموع اکثرا عددی اول است.”

جدولی مانند جدول زیر تشکیل داده و فرمول اویلر را برای اعداد ۱ تا ۲۰ بررسی کنید

عدد	فرمول اویلر	حاصل	اول است ؟
۱	۱+۱۲+۴۱	۴۳
۲	۲+۲۲+۴۱	۴۷
۳	۳+۳۲+۴۱	۵۳
۴	۴+۴۲+۴۱	۶۱
…	…	…	…
۲۰	۲۰+۲۰۲+۴۱	۴۶۱
…	…	…	…
۴۱	۴۱+۴۱۲+۴۱	۱۷۶۳

آیا این فرمول همواره صحیح است ؟

بدیهی است که این فرمول ، برای ۴۱ و مضارب ۴۱ ، جواب گو نیست.

 

فرمول مرسن

مارتین مرسن (۱۰۲۷-۹۶۷ هجری شمسی) ، یک کشیش ریاضی کار بود. این ریاضی کار فرانسوی نیز علاقه ی زیادی به اعداد اول داشت. او ادعا کرد که ” تمام اعداد ، به شکل

مثال:

 p=5 , ۲^p-1 = 31

که وقتی ۵ اول بود ، ۳۱ نیز اول شد.

 

ادعای گلدباخ

در ۱۱۲۱ شمسی ، ریاضیدانی به نام “گلدباخ” ادعا کرد می توان هر عدد طبیعی بزرگتر از ۵ را ، به صورت مجموع ۳ عدد اول نوشت. مثلا ۱۱+۷+۳ = ۲۱ .

برای اثبات حدس گلدباخ در بین ۲۰ اسفند ۱۳۷۹ تا ۰ اسفند ۱۳۸۱ ، جایزه یک میلیارد تومانی گذاشته شد ، اما کسی نتوانست آن را اثبات کند!

درستی حدس گلدباخ را در جدولی مثل جدول زیر ، تا ۵۰ امتحان کنید:

۶	= ۲+۲+۲
۷	= ۲+۲+۳
۸	= ۲+۳+۳
۹	= ۳+۳+۳
۱۰	= ۲+۳+۵
۱۱	= ۳+۳+۵
۱۲	= ۲+۵+۵
۱۳	= ۳+۵+۵
…	…
۵۰	= ۲+۵+۴۳

 

الک اراتستن

وقتی بخواهند دانه های گندم را از اضافه های آن جدا کنند ، از الک خاصی استفاده میکنند که سوراخ های آن با اندازه های دانه های گندم ، متناسب باشد. اراتستن ، حدود ۲۰۰۰ سال پیش ، روش بسیار دقیق و قابل اعتماد خود را ارائه کرد. او روی مضارب ۲ و ۳ و ۵ و … را خط نمیکشید ، بلکه آن ها را با یک چوب کوچک ، سوراخ میکرد. مثل این که عددهای غیر اول را ، از سوراخ های الک ، بیرون میکرد و تنها عددهای اول را نگاه میداشت.

(برای دیدن الگوریتم تصویری غربال اراتستن ، اینجا  را کلیک کنید)

یکی از نوادگان اراتستن ، معتقد است در روش جدش ، رازهایی موجود می باشد. او میگوید یکی از این رازها مربوط به آخرین عدد اولی است که مضاربش در الک ، حذف میشود. مثلا در الک اعداد ۱ تا ۸ ، آخرین عدد اولی که مضاربش خط میخورد ، عدد ۲ میباشد. یعنی بزرگترین عدد اول جدول ، بزرگتر یا مساوی جذر تقریبی عدد آخر جدول است.

الک پیشرفته ی اراتستن

الک اراتستن ، روش خوب و قابل اعتمادی میباشد و برای نیاز های کوچک ، همیشه میتوان از همان “الک دستی اراتستن” استفاده کرد. این روش هم در گذر تاریخ ، به تدریج پیشرفت هایی کرده است. مثلا یک دانشجو در سال ۱۳۲۳ شمسی و در ایام جنگ جهانی دوم ، یکی از این الک های جدید را درست کرده است که آن را بررسی می کنیم

به اعداد زیر دقت کنید ؛ آیا رابطه ای میان اعداد این جدول مشاهده می کنید ؟:

۴	۷	۱۰	۱۳	۱۶	۱۹	۳k+1
7	12	17	22	27	32	5k+2
10	17	24	31	38	45	7k+3
13	22	31	40	49	58	9k+4
16	27	38	49	60	71	11k+5
19	32	45	58	71	84	13k+6
3k+1	5k+2	7k+3	9k+4	11k+5	13k+6

اگر عددی مثل n ، در این جدول وجود داشته باشد ، عدد ۲n+1 غیر اول است و اگرعددی مثل m ، در این جدول وجود نداشته باشد ، ۲m+1 عددی اول است.

مثال ۱: در جدول ، عدد ۳ وجود ندارد ، پس  :

  که ۷ عددی اول است.       ۷ = ۱+ ۲×۳

 

به نقل از: درسنامه تکمیلی ریاضی سمپاد – سوم راهنمایی